李慧的主题帖

李慧

       本学期继续研究数学课堂与数学思想方法的联系。

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    本学期第五单元学习了“2.3.5的倍数特征”，对于这几个数倍数的特征，一般采用归纳推理的方法得出。虽然学生知道了这几个数倍数的特征，但对于“为什么”学生却说不上来，这对于培养学生的演绎推理能力是不利的。实质上归纳推理是合情推理的一种，它的准确性需要演绎推理来证明。环节一  14、21都是7的倍数，14和21的和是7的倍数吗？18、27都是9的倍数，18和27的和是9的倍数吗？你有什么发现？
    通过这一思考题学生归纳发现：如果两个自然数都能被a整除，那么他们的和也能被a整除。这时候，可以把这一结论适当拓展，如果三个自然数都能被a整除，那么他们的和怎么样呢？四个呢？至此，学生已经掌握一个很重要的原理：如果n个自然数都能被a整除，那么他们的和也能被a整除。
环节二  为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数？为什么判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和？
    24=20+（  ）
    2485=2480+（  ）
    24=20+（4）=2×（9+1）+4=2×9+（2）+（4）
    2485=2×1000+4×100+8×10+5
        =2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5
        =2×999+4×99+8×9+（2）+（4）+（8）+（5）
    划线部分都是3的倍数，后面部分就是各数位上数的和，所以和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
    这样一来，学生既知道了“2.3.5的倍数的特征”是“什么”，又知道了“为什么”。在这个过程中，有理有据，充分运用了各种推理方法，感悟到了倍数的特征。

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    本学期第八单元学习了“平均数”这个概念。平均数是统计学中的一个重要概念，它是个虚拟的数，学生对此似懂非懂，一知半解。结合图像，对学生理解平均数的内涵能起到很好的辅助作用。借助统计图将其中的实际数量与平均数进行更为直观的比较，使学生明白求出的这个平均数一定在这组数据当中的最大数和最小数之间，而且比最大数会小一些，比最小数会大一些，体会平均数可以代表一组数据的平均水平。通过这样的条形统计图，学生更加清晰地看出每个人实际踢毽的个数有的比平均数多，有的比平均数少，还有的与平均数相等。这样直观形象的展示，对学生理解平均数起到了非常鲜明的效果。

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    本学期《探索乐园》单元安排的第一课时的学习内容是“植树问题”，本课时主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法，通过数学思想的渗透，让学生用数学思想方法去解决植树问题，从而达到举一反三的效果，真正使学生通过“植树问题”的解决，促进数学思维的发展和解题能力的提高，积累数学活动经验。“植树问题”之所以难，主要是因为其中涵盖的数学思想比较多，其中包括了“化归”、“模型”、“数形结合”、“对应”等数学思想。
一、转化思想
    同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵树（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
    例题中给的数比较大，学生难以想象出全种完后会出现棵树与间隔数不对应的情况。此外，在解题的过程中，还出“间隔”“间距”“间隔数”“总长”“棵数”等专门用于解决“植树问题”的术语，如果一上课就出示例题，大多数学生会用100÷5=20（棵）来计算。因此，课题引入前就可以营造轻松的导入情境，帮助学生理解这些术语。接下来将例题中的数据改成简单数，如把“100米”改为“10米”，把例题转化为简单问题，让学生从中找出“植树问题”的规律，即“总长÷间距=间隔数”“间隔数+1=棵数”，再来结局例题的问题，这样便能水到渠成。
二、数形结合思想
    数形结合可以使数学学习变得直观和有趣，这符合小学生的年龄和心理特点。但数学学习的终极目标是要促进学生思维的发展，所以在解决实际问题的学习过程中，要让学生理解数量关系。在教学中，可以通过较小数让学生看图或画图来寻找间隔数与棵数之间的一一对应关系，数形结合的思想也在潜移默化中培养了起来。先处理“10米可以栽几棵”，让学生经历猜测、验证、推理的过程。有些学生是通过画示意图，进行“实地”植树来验证；还有些学生是通过画线段图来说明。无论哪种方法均验证出：在两端都栽的情况下，植树的总棵树=间隔数+1.先猜想解答，再通过画图验证，这样的数学活动，体现了数形结合的思想，彰显了数学学习的价值，学生的思维水平得到了提升。

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三、一一对应思想
    动态课件的制作，能有效体现间隔数有没有与棵数之间一一对应。在教学时，我通过课件带着学生从左边数：1个间隔，1棵数；2个间隔，2棵数；3个间隔，3棵数；4个间隔……让学生发现一个间隔对应右边一棵树，最后一个间隔右边没有树，所以4个间隔，植3棵数。在这样的提示下，学生便很快发现了这个规律并总结出来。即两端不栽树时，棵数=间隔数-1，这个1就是减去最后没有与间隔数有对应的那棵树。至此，学生已经发现棵数与间隔数之间的数量关系。“一一对应”的数学思想在潜移默化中培养了起来，而且学生也能利用这种数学思想从直观到抽象完成了数学建模。
    因此我们可以用对应的数学思想统领课堂，仅仅抓住间隔问题的本质也就是对应问题进行教学，植树问题的三种情况就是间隔排列的不同情况，因此植树问题的本质也是对应问题。只要明确了“间隔数”与“所栽树的棵数”这两者的关系，突出“一一对应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。

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与直线上植树问题模型类比，解决类似问题
与直线上植树问题类似的一些问题，可用数学思想方法中的转化、类比和模型等方法分析解答。上课的时候发现，此类问题以类比思想为重点突破口，往往收到显著效果。
一、【锯木头问题】  把一根木料锯成4段用时12分钟，以同样的速度锯另一根木料用了24分钟，另一根木料被锯成了几段？
    在处理这个问题的时候可以提醒学生回忆在直线上植树问题，从而发现该问题相当于植树问题中的两头都不种的情况。其中的段数相当于间隔数，锯木头的次数相当于植树的棵数，12分钟锯了3次，锯一次用了12÷3=4（分钟），24分钟锯了24÷4=6（次），也即7段。这样与植树问题类比之后，再解决就容易多了。
二、【上楼走台阶问题】  图图和同学壮壮住在同一幢楼，每层楼之间的楼梯数相同。图图家住在4楼，每天回家要走48级台阶。如果壮壮家住在5楼，他每天回家要走多少级台阶？
    学生很容易初步感受这属于立起来的直线上的植树问题中的两头都种的情况。此时可以用类比法启发：楼层数相当于植树棵数，每两层之间的楼梯数相当于间隔数。学生会知道图图家住4楼相当于间隔数为3，根据48级台阶，先算出每两层之间有多少台阶，然后再根据壮壮回家所走楼梯的间隔数是4，从而算出48÷3×4=64（级），解答出该问题。
三、【敲钟问题】
    此问题可启发学生：这类似直线上植树问题中的两头都种的情况，总时间好比植树问题中的总距离，而钟点数好比是植树中的棵数。