关于数学学科思想方法

郭振洲

无论是哪个学科，都有该学科的特点，教学过程中应充分体现学科特点，这些学科特点的体现，需要学科教师对本学科的思想方法有一些明晰的认知并体现在每节课的教学中。为什么我们听到一些课后感觉不伦不类，为什么好多新上岗的教师很久也不能“上路”，为什么一些有多年教学经验的老师在课程改革过程中见到一些"走偏“的观摩课后开始不知道该怎么教学了，最根本的原因还在于对于学科的思想方法没有明确的整理和认识。


为帮助大家对学科思想方法的掌握，现把以前对这个问题的探索文字发在这里，抛砖引玉，供大家参考。

郭振洲

小学数学思想方法：
1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,小学数学一般是一一对应的直观图表,并以此孕伏函数思想.如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应.
2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设,然后按照题中的已知条件进行推算,根据数量出现的矛盾,加以适当调整,最后找到正确答案的一种思想方法.假设思想是一种有意义的想象思维,掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体,从而丰富解题思路.
3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一,也是促进学生思维发展的手段.在教学分数应用题中,教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况,可以帮助学生较快地找到解题途径.
4、符号化思想方法
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容,这就是符号思想.如数学中各种数量关系,量的变化及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式表达大量的信息.如定律、公式、等.
5、类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式.类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁.
6、转化思想方法
转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法,而其本身的大小是不变的.如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等,在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙.
7、分类思想方法
分类思想方法不是数学独有的方法,数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准.如自然数的分类,若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数.又如三角形可以按边分,也可以按角分.不同的分类标准就会有不同的分类结果,从而产生新的概念.对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性,数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构.
8、集合思想方法
集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法.小学采用直观手段,利用图形和实物渗透集合思想.在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法.
9、数形结合思想方法
数和形是数学研究的两个主要对象,数离不开形,形离不开数,一方面抽象的数学概念,复杂的数量关系,借助图形使之直观化、形象化、简单化.另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示.在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系.
10、统计思想方法：
小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法,求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法.
11、极限思想方法：
事物是从量变到质变的,极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变.在讲“圆的面积和周长”时,“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路,在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态,这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想.
12、代换思想方法：
他是方程解法的重要原理,解题时可将某个条件用别的条件进行代换.如学校买了4张桌子和9把椅子,共用去504元,一张桌子和3把椅子的价钱正好相等,桌子和椅子的单价各是多少?
13、可逆思想方法：
它是逻辑思维中的基本思想,当顺向思维难于解答时,可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法,有时可以借线段图逆推.如一辆汽车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的1/7,第二小时比第一小时多行了16千米,还有94千米,求甲乙之距.
14、化归思维方法：
把有可能解决的或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类以便解决可较易解决的问题,以求得解决,这就是“化归”.而数学知识联系紧密,新知识往往是旧知识的引申和扩展.让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题,对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助.
15、变中抓不变的思想方法：
在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系,抓不变的量为突破口,往往问了就迎刃而解.如：科技书和文艺书共630本,其中科技书20%,后来又买来一些科技书,这时科技书占30%,又买来科技书多少本?
16、数学模型思想方法：
所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象,从它特定的生活原型出发,充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程,得到简化和假设,它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法.培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界,也是学生高数学素养所追求的目标.
17、整体思想方法：
对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手,整体把握化零为整,往往不失为一种更便捷更省时的方法.

郭振洲

  让思想“开花”  让方法“落地”——浅谈数学思想方法的认识与课程整合
对于思想方法的认识和理解，我用集合的方式做以呈现，我愿意把本学科思想方法放到思想和方法两个层面去理解，学科思想可能是：认识、态度、情感、体悟、价值观、情怀等等，是意识层面的内在感受与思考，是一种情绪、情感的体悟和思想认识的升华；学科方法可能是：策略、模式、方式、步骤应用等具体的、明确、外显的思维活动。我认为思想高于方法，并指导方法，那么方法又在体现思想，促使思想的形成，二者辩证统一，彼此依存。
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，通过符号运算、形式推理、模型建构等理解和表达现实世界中的事物的本质、关系和规律。可见数学学科的本质属性——抽象性。
数学学科的抽象性，让它蒙上了一层神秘和乏味的面纱，数学是一种非常珍贵的理性教育，它赋予人类，敢于质疑、善于思考、实事求是、一丝不苟的科学精神
它能化繁为简、拂尘见金；它以逻辑的庄严、论理的慎密、千变万化中的简洁，达到人类思维的高级形态。想把数学学科学个明白、学个透彻、学个好玩，核心的思想方法就是——追根溯源、融会贯通。 教师要始终带着学生一起经历知识的全貌：它是怎么来的（即知识的起源）——它是怎么样的（即知识的本质）——它是怎么用的（即知识的应用）——它是怎么发展的（即知识的变形）。 这是我们从数学学科宏观上、遵循学科本质属性挖掘的最核心的思想方法，始终以此贯穿整个数学学科的学习，在追根溯源中挖掘知识的本质、探索知识的全貌，在庞大有序、交织的知识链中融会贯通，发展思维。
那么在不同的年级阶段，由于孩子的思维发展和认知的不同，落实思想方法的手段又有所侧重，低年级段：积极尝试、善于想象；低年级的孩子思维还没有形成，心智还不完善，他们的学习主要借助直观和感受，才能取得学习效果，所以在尝试、经历中去发现知识，去落实相应的思想方法，同时想象力是形成思维必不可少的途径，有了想象才有抽离出的认识，即抽象思维的萌芽。
中年级段：大胆猜想推理、专于验证。
中年级段的孩子，已经有了思维的雏形，处于直观形象思维到初步抽象思维的转折过渡阶段，知识中的大胆猜想和合理推理，是学生喜欢的一种刺激的思维活动，但同时又容易冲动、盲目、自负，那么验证的精神品质就至关重要，一边给他们思维的自由，一边又要约束他们思维的规则，让学生意识到任何不加验证的猜想和推理会经不住考验。
高年级段：思辨、挑战权威。
高年级的孩子们心智形成、自我意识强烈，有了独立的思想和情感，思维发展多元而稳定。此时他们自我意识的形成，将很自然的促使他们质疑周遭的一切，教师要让这种质疑良性的发展，要鼓励学生、促使学生在课本知识面前、在老师的讲解面前、在能力强的同学面前、在别人的强势思维面前敢于生疑、大胆质疑，不盲从，有独立的辨析思考力。让学生认识到权威不是拿来遵守的、不是高高在上的，而是厚重的严谨的积累，是从小处入手，一丝不苟的科学精神的产物。
思辨，一是指思维的辨析能力即对错、简繁、知识层次、思维方式的辨识，二是知识间的辩证关系的辨析。此时的学生，我们不但要给孩子们高级的思维挑战，更要给他们学科态度，学科精神和学科情怀。
说到这有的老师可能会质疑，你现在教的是一年级，说别的年级干嘛？一句简单的话来解释就是，因为我的学生终会长大，他们会进入中年级升入高年级，我要明白他们目前需要成长的空间，也要清楚他们未来成长的步伐。当我们的眼光不再局限在本学期、本年级，而是放眼孩子6年学习、6年的成长，我们才能游刃有余，才能取舍有度。
回到我们一年级，我们将全册书的思想方法进行了梳理，明确了每个单元需要落实和渗透的思想方法，有了思想方法的认识，我们在课程整合和资源使用上就更加谨慎和认真。我们主要体现在3个方面：
1.  3套教材文本的整合和使用  
任何一套教材都是知识体系的严谨呈现，都有各自的特点、长处和逻辑表达方式，所以我们在使用冀教版教材的同时结合人教版教材，将单元内容整合、调整，选取逻辑性最符合孩子思维的学习版本，取长补短，我们还将亲近数学中的独特思想、独特逻辑以及丰富的课外知识补充进来，使我们的学科更充实、饱满、有质感。
2.绘本、视频、网课资源的补充
  同时我们还利用绘本图书、网络视频、和网络课堂做辅助，有时做知识上的逻辑辅助、有时是课外知识的拓展丰富、有时是新鲜学习方式的补充。
3.自主开发的学案、练习
  有了3套文本教材的整合使用，我们会根据学生学习过程中的思维需求，考量思想方法的落实，设计相应的学案和课后练习，市面上现成的练习资料很多，有些题目也都不错，但它们都从知识角度出发，而我们设计的学案和练习则从学生角度出发。
下面我以一节课的教学片段为例，说说我们是如何在课程资源整合中落实思想方法的。三单元认识立体图形，共2课时，很明显教材提供的文本资源很是匮乏，中高年级的老师一定知道，立体图形的特征一定比平面图形复杂，后期孩子们正式的认识图形的特征和属性，也是从平面图形开始，才是立体图形，而为什么一年级的孩子开始就学习立体图形呢？原因很简单，因为立体图形更像生活中的图形，平面图形对于他们来说有些抽象，那好我们教师是不是像教材一样，拿着一个长方体盒子告诉他们这个图形叫长方体、拿着一个正方体魔方告诉他们这叫正方体，这种方式就毫无思想方法可言，孩子学起来也会索然无味，毫无兴趣。回归到追根溯源、融汇贯通的核心思想方法，我们采用经历、感受、想象的体验方式进行教学：首先揭示，数学世界中有数字家族，还有图形家族，在图形家族中又有立体图形和平面图形。（课件）我们具体的做法是出示两种图形：一些平面图形和一些立体图形，告诉学生这些都是图形，然后让孩子们分一分类，孩子们很自然的分成了平面图形和立体图形，（课件）再说一说这两种图形有什么不一样的感觉，一种图形平平的、只有一个面，一种图形鼓鼓的突突的、有好几个面，然后让孩子们给这两种图形起名字，平平图形、鼓鼓图形、薄薄图形、站立图形等等，此时揭示：有好几个面的是立体图形能站立、占空间，另一种只有一个面的不能站立只能放平的是平面图形；接下来让孩子们闭上眼睛，去摸一摸猜一猜是立体图形还是平面图形，平面图形平平的很光滑、立体图形鼓鼓的扎手。在刚才教学片段中，我们通过，分一分（图形分类），说一说（图形感觉），聊一聊（图形起名），摸一摸（图形辨认）分别体现了，分类思想、观察比较的思想、抽象概括思想、想象。整个过程就进行了图形的追根溯源，帮助孩子们了解了图形的隶属关系，让他们对图形的认识有一个全貌的认知，也是冲突思想的体现，当学生平面图形和立体图形的冲突越强烈的时候，他们对立体图形的感知就越强烈。在此我们落实本学科思想方法，采用尝试、经历、想象、借助直观等方式，符合低年段孩子的思维特点。以上是一节课的一个教学片段，时间关系在这里就不呈现完整的一节课了，那么对于这一单元，我们做的教学调整在这可以跟大家交流一下，教材呈现的是两个课时：第一课时认识长方体、正方体、圆柱、球，第二课时是活动课：摆积木。我们的调整是：第一课时认识什么是立体图形和长方体；第二课时认识正方体、比较长方体和正方体、认识圆柱；第三课时认识球区分球和圆形，整理各图形的特征；第四课时活动课：搭积木

郭振洲

数学重点思想方法在教学中的渗透实施
      《数学课程标准》在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”。这四部分课程内容具体反应到四年级上册中为：“数与代数”部分：数的认识：“认识更大的数”，“倍数和因数。数的运算：三位数除以两位数、“解决问题（乘除混合运算）”，常见的量：升和毫升”。图形与几何部分：线和角、垂线和平行线。统计与概率部分：平均数和条形统计图。综合与实践部分：探索乐园（植树问题和数图形问题）。
        全册书重点突出的数学思想有：归纳思想、数形结合思想，符号化思想、分类思想以及类比推理的思想。其中归纳思想贯穿于四年级上册的教材，如数与代数部分有：三位数除以两位数的运算方法、乘除混合运算顺序、商不变的规律、2，3，5倍数的特征、亿以内数的读法和写法；图形与几何部分有：线段、直线和射线的特征，归纳总结垂线和平行线的定义等等。统计与概率部分有：归纳总结平均数的意义以及求平均数的方法。综合与实践部分有：归纳总结在一条线段上植树问题的规律。
        数形结合思想在本册教材中也体现较多，如第三单元解决问题中两个未知量问题，求角的度数问题，综合实践中植树问题和数线段问题和平均数的学习。
        符号化思想主要体现在第一单元的升和毫升、第四单元图形与几何部分，认识了常用来计量液体体积多少的单位“ 升和毫升”用字母符号“L”  “mL”来表示。单位角用图形符号 “∠”来表示和运用。
分类思想体现在图形与几何部分有角的分类，数与代数部分有认识更大的数这一单元中把自然数分为奇数和偶数。
类比的思想体现在：三位数除以两位数新知学习中，在三年级所学的两位数除以一位数和三位数除以一位数的基础上类推出三位数除以两位数的笔算方法。认识更大的数单元中，也是在万以内数的读法基础上类推出亿以内数的读法。
        在实际教学过程中，除教材之外，根据课程安排和内容，我们将《亲近数学》和数学绘本及数学故事等资料整合在一起，举几个例子来具体说说我们年级的做法。
一、        归纳思想方法在教学中的渗透实施
        归纳思想方法是在研究一般性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般性的规律和性质。例如第五单元《倍数和因数》第三课时2、3、5的倍数的特征的教学中，学习2的倍数的特征时体现了归纳思想。先研究2,5的倍数特征，归纳出一般性的规律，然后过渡到探索3的倍数特征时，学生就能自然的归纳出3的倍数特征。训练了学生从特殊到一般的思维方式。除了教材之外，我们整合了《亲近数学》（5年级109页）《3的倍数为什么有这样的特征》节内容，让孩子们在自己归纳得出的规律和性质后，了解3的倍数为什么有这样的特征（明白了3的倍数特征，就明白9的倍数特征了，这里又体现了类比的思想方法），孩子们明白了算理的知识，才是真正掌握了知识。
二、        数形结合思想方法的渗透实施
        数形结合的数学思想将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在教学过程中，学生对很多数学知识的认识往往是模棱两可的不明白内在的道理，此时我们可以利用数形结合的思想帮助学生明白这些内在的道理。例如平均数的概念教学。平均数是统计学的一个重要概念，它是一个虚拟的数，学生对此是似懂非懂，一知半解。但是我们结合图像对平均数的理解平均数的 意义有很大的帮助作用。我们教学中就可以结合条形统计图的教学，在条形统计图上画出这条虚拟的平均数的这条虚线，借助将统计图将图中的实际数量与平均数进行更加直观的比较。学生很快就会发现平均数是在这组数据的最大数和最小数之间，体会到平均数代表的是一组数据的平均水平，而不是某一个数。
三、        类比思想方法的渗透实施
        类比的思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。例如《三位数除以两位数》这一单元笔算的学习，学生学习起来仍然很困难。可以用一句话来概括“教师教得吃力，学生学得痛苦”。计算历来是学生的难点，既枯燥又容易出错的题目。利用类比的思想，在教学中先让孩子们复习两位数除以一位数的计算和三位数除以一位数的计算，然后在切入三位数除以两位数如何计算，同时我们整合了经典数学系列《你真的会加减乘除吗》从笔算两位数除以一位数的故事逐渐进入三位数除以两位数学习。此外，我们还将《亲近数学》中的“怎样提高试商速度”这一内容进行了补充学习，从而学生计算能力明显提高。
       在数学的教学中，一种问题的解决往往不止一种思想方法，例如第三单元的两个未知量问题，这个问题的解决可以用比较的方法计算出来一顶帽子和一条围巾的价钱，也可以利用整体替换的方法来解决。我认为数学思想方法的训练应该有意识地在平时的教学中点滴渗透，因为我们的数学教学中蕴含了数学思想这个灵魂，学生的数学学习就就能充此外,符号化思想也不仅仅指的是字母来表示单位，还有加减乘除以及方程中的符号等等。满活力，数学头脑就能真正构建，为他们以后能用数学的眼光看世界打下基础。

郭振洲

有关数学思想方法的几点思考：
有关数学思想方法，新《课标》中明确提出的“双基”（基础知识、基本技能）变“四基”（新加：基本思想、基本活动经验），这里的思想指的就是学科思想，在课标里被重点提出，其意义重大。这样的大背景下，我们进行有关学科思想的研究，同样意义重大。
下面我的分享主要围绕这三大方面展开：
        本学期主要学习的数学思想方法
        哪些课程体现了这些思想方法
        如何做整合
先说第一个方面：本学期主要学习的数学思想方法。
本学期主要的思想方法有：符号化、转化、极限、数形结合、方程、模型、类比、对应。
    第二个方面，哪些课程体现了这些思想方法。鉴于方法较多，我们仅以那些显而易见，容易理解的拿出来跟大家交流。
符号化思想：符号化是数学抽象的一种表现，是数学的“自有语言”。本学期学习比号“：”，知道比号相当于两个数相除；圆的相关内容里知道O、r、d、C、S表示的内容及它们彼此的关系；百分数的认识中，知道“%”的作用,都涉及到了符号化思想。
转化思想：顾名思义，就是转换形式，往往是将一些较复杂的问题换角度思考，转化成较简单的问题。本学期中有些比的问题就需要转化为除法或者分数问题解决；探索测量圆的周长是一个“化曲为直”的转化过程；探索圆的面积是一个“化圆为方”的转化过程，求环的面积，也是将特殊图形转化为一般图形。
数形结合思想：这也是数学中最常见的几种思想，简单来讲就是将代数与几何的内容相结合，使问题更加清晰明了。本学期中，比的学习，借助直观图帮助学生理解份数关系；百分数问题中利用线段图直观理解数量关系；扇形统计图，利用圆中分出的扇形表示部分与总体的关系都体现了这一思想方法。
模型思想：其实就是数学方法的深层归纳，将同类问题形成一种固有结构。本学期学习圆的周长C= πd=2 πr和面积S= πr^2就是两个模型；比的学习中，两个成固定关系的量就能以比的模型结构进行问题解决；还有百分数的相关问题里，学生能用一些固定模型解决问题，如成活率、发芽率、合格率等等。
极限思想:本学期用到极限思想的有两处明显的知识点，圆的周长和圆的面积，其中圆的面积教材很明显地提出，周长却并没有明确提出，因此我们在这一块的教学中打算补充《亲近数学》中的“割圆术”。
第三方面，如何整合。数学，由于知识结构的特殊性，我们不能单纯依据思想方法将不同范畴内的问题简化压缩到一起。数学思想方法于数学本身而言，是一种思维方式的精炼，它带给学生的是解决问题更高的视角和更加高效的学习过程。也就是说，我们数学学科的整合，不以单纯的“量”来衡量，而是以思维的“质”来衡量，并且整合的过程很有可能会打破学期的限制。
拿转化思想举例，本学期在学习比的相关内容时，我们就遇见过这样的问题：一个比的前项扩大3倍，后项缩小2倍，比值如何变化？大部分学生考虑这个问题时，感到无从下手，这时，我提问他们，一个问题正面去想不好解决时，我们数学上往往有怎样的处理方式？之所以这样提问，是因为我们早在学习“割补法”求不规则图形面积以及学习平行四边形、三角形、梯形面积时，就已经向学生提及过转化思想。当时，考虑到学生的理解水平，我们是在方法总结之后，回过头来给他们上升到思想方法的高度，更多地是让孩子们感受这一思想方法。有了之前的铺垫，这次遇到比值的问题，我们尝试提醒学生学习用这一思想方法主动解决问题。学生们到底想到了将比值问题转化为除法问题或者分数问题。之后，我追问像这样将复杂问题转换成简单问题的思考方式就体现了我们数学上的一种思想方法，你们还记得吗？这样的一个主动解决问题的过程，加深了学生对转化这一思想方法的理解。
接着，我们这一学期又学习了圆的周长，在探索测量方法时，学生们出现了“滚动法”和“绕线法”，我有意识地引导学生总结这两种方法的共同之处，发现它们都是将围成圆的这一曲线转变成了方便测量长度的直线——“化曲为直”，再一次体现了转化思想的作用，然后总结，这里的“曲”不仅仅是曲线，还有可能是曲面，“直”也就不仅仅是直线，还有可能是平面，这样，为学生后续学习圆柱、圆锥做好铺垫。之后，我们还学习了圆的面积，“化圆为方”的学习体验中再一次对比三角形、平行四边形、梯形的面积求导过程，使学生体会转化思想在图形面积的求导中发挥的重要作用，在头脑中形成一个用转化思想解决图形面积的连贯体系。进而为后面马上要学习的圆环面积及与圆相关的不规则图形面积做好铺垫。   
可以看出，数学思想方法的渗透并不是一个单向过程，它是循环往复的。学生理解掌握的方式也不仅仅是老师口头的讲授，要让学生在充分的学科活动基础上，切身感悟思想方法的精妙。
还想跟大家分享的是一个后续的小插曲，几次接触转化思想之后，有一次一个学生问了我一道题，是这样的：1×2×3×4×5×……×98×99×100的结果末尾有几个0？我当时也是有点懵，就自言自语似的说“这么复杂的式子一定不是直接这样做的”“对，得想办法转化成简单点的！”我的学生立刻接话，听到他这句话时，我就觉得这道题与他来说会不会已经不重要了，他有了正确的思想方向，何愁做不出来！那后面怎么解决呢，确实是转化，因为除1外，任何一个整数都能分解质因数，所以我们就可以将这一堆数转化成百以内质因数相乘的结果，而这些质因数中，只有2和5相乘的结果能凑出整十，所以只用看这些质因数中有多少对2和5就行了。利用转化思想，我和这个学生很顺利地解决了这样一个看似复杂的问题。下一步，我打算在数学活动课上，试着让这些运用数学思想方法解决难题的学生把解题过程讲给同学们听，转换形式，不再局限于师生之间，让生生之间也传递思想方法。
以上就是我们组的一些探讨感悟，有关学科思想方法的探索才刚刚起步，希望大家多多指正！谢谢！

郭振洲

数学思想方法与教学内容的有效整合（四年级数学）
       数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。
      在小学阶段，数学思想方法主要有：1.符号化思想；2.化归思想；3.类比思想；4.归纳思想；5.分类思想；6.方程思想；7.集合思想；8.函数思想；9.对应思想；10.模型思想；11.数形结合思想；12.演绎推理思想；13.变换思想；14.统计与概率思想等等。
      在整个小学数学学习的过程中都渗透着一些数学思想方法。今天我们就选择其中两个数学思想方法，结合四年级上册相关内容，简单的阐述一下我们如何在教学中渗透这些数学思想方法。
      一、数形结合的思想方法
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效方法。“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，，从而起到优化解题途径的目的。小学阶段比较常见的数形结合的思想方法有两种形式：
       （1）        以形助数
      如：在四年级上册第九单元“探索乐园”中的植树问题。
     学校计划在40米长的教学楼前种一排玉兰树。每隔5米种一棵，需要多少棵树苗呢？
       这道题看上去非常简单，但对于学生单从字面上很难弄清间隔和棵树之间的关系。
       首先借助图中丫丫的话“植树有不同的方法”引出植树会有三种不同的情况，即：只种一头、两头都种、两头都不种。重点是理解间隔数的含义，能求出间隔数，并根据不同的植树情况，找到植树棵树和间隔数之间的关系，求出植树的棵树。在解决具体问题时，可以采用“以形助数”----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，孩子们的思路就会豁然开朗，从而提高教学效率。
      出示直观图(一头不种，另一头种)，帮助孩子理解间隔数的意义：每隔5米种一棵，就是每两棵树间隔5米。一共有几个5米，就说有几个间隔，或者说间隔数是几。
       让学生观察示意图，发现植树棵数和间隔数之间的关系（数一数或者运用一一对应的思想：一个间隔对应一棵树）：只种一头：种树的棵树=间隔数
       用同样的方法让出示直观图，让学生发现：
       两头都种树：种树的棵树＝间隔数+1
       两头都不种树：种树的棵树＝间隔数－1
      植树问题是小学数学中的一类典型问题，通过直观图可以让学生轻松的理解间隔数的意义，找到种树棵树和间隔数之间的关系，也可以运用线段图：用线段上的点代表树，用线段上相邻两个字母组成的线段相当于两棵树之间的间隔。   
        在让学生感受了植树问题的解决策略后，设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等，让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。
       在第三单元解决问题，遇到一些比较复杂数量关系：如和差、和倍、差倍的问题，可以让学生借助线段图帮助理解，同样也是运用了数形结合的思想。“”
     （2）以数解形
      有关图形中往往蕴含着数量关系，特别是复杂的几何形体可以用简单的数量关系来表示。而我们也可以借助代数的运算，常常可以将几何图形化难为易，表示为简单的数量关系（如算式等），以获得更多的知识面，简单地说就是“以数解形”。
      第二课时数线段一课中，出示一条标有四个点的线段，提出：数一数，共有几数线段？学生交流的过程中引导数线段的方法，让学生能够有规律地数线段，通过完成表格，发现、总结线段上的点数与线段条数之间的关系，并能有规律的用算式表示出线段的条数，最后能够把数线段的方法扩展到数角、数三角形、数长方形等类似的问题中。
       解题时利用数形结合，把数与形有机的结合起来，不仅形象易懂，帮助学生克服思维的定势，而且有助于培养学生灵活运用知识的能力，这两课时同时也渗透了探索归纳、建模的思想。
      二、演绎推理思想
      《数学课程标准（2011年版）》对推理思想有详细的阐述——“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”
       合情推理的两种主要推理方式是“类比”和“归纳”。在教学中，通过使学生经历“猜想——证明”这样一个问题探索的过程，从而积累数学推理活动经验，感悟推理思想，发展推理能力。
      1.利用类比思想，发展学生推理能力。
      类比是指通过比较两个对象或两类事物属性的相似、相同，从而猜测等待解决的问题或事物与相关问题或事物的属性是否相同或相似，得出数学新命题或新方法。
       四年级上册教学《认识更大的数》单元中亿以内及亿以上数的读写，借助“万以内数的读写”这个已有知识，学习“亿以内及亿以上数的读写”这一未知知识。这个过程，就是类比思想在教学中的运用。
       利用类比思想，启发学生发现数学知识之间的内在联系，有利于学生将头脑中的一个个知识点，串成知识链，提高学生对数学知识整体的把握。同时，通过类比思想，使学生形成解决问题方法的正迁移，提高学生研究和解决问题的能力，真正实现为学生终身发展服务的目标。
      2.利用归纳思想，发展学生推理能力。
      归纳就是对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察分析，应用不完全归纳法或者完全归纳法得出结论或方法的猜想并进行验证的过程。
四年级上册教学《商不变规律》，可以先引导学生观察两组算式：6÷2=3,，60÷20=3，120÷40=3，240÷80=3。800÷40=20，400÷20=20，200÷10=20，80÷4=20。然后依据发现的共同规律，提出一种猜测：在除法里，是不是被除数和除数同时乘（或除以）相同的数，商不变？从而引发学生的探究欲望。此时，学生通过大量的举例，来验证刚才的猜想。最后重点说明为什么0除外。
       从一些特殊的例子，得出一般性的结论，就是归纳推理的思想。
      四年级上册《因数和倍数》单元中学习2、3、5的倍数的特征。例如学习3的倍数的特征，先让学生说出一些3的倍数，然后通过观察发现规律，归纳出结论，这也是由特殊到一般，属于归纳推理的思想。当我们运用3的倍数的特征去判断一个数是不是3的倍数的时候，这就是一种演绎推理的思想。比如：判断45是不是3的倍数，可以说：因为45各个数位上的数字之和是9，而9是3的倍数；所以45是3的倍数。
       数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在平时的教学中，要结合教学内容和课程目标选择和整合课程资源，从学生的实际出发，从学生的角度去研发教材，使课程内容与学生的数学教学活动结合得更加紧密，更能体现数学思想方法的渗透和熏陶。
教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点，在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法，把数学思想方法的要求融入到备课的每一环节，引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，减少教学中的盲目性和随意性。
        总之，在教学中，教师既要重视数学知识、技能的教学，又注重数学思想、方法的渗透和运用，这样无疑有助于学生数学素养的全面提升，有助于学生的终身学习和发展。

郭振洲

五年级上学期数学学科思想方法与资源整合

一、小学数学思想方法有哪些

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律理性的认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时采用的方法、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接手段。一般来说，前者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。

史宁中教授在新课标解读中指出，《课标》中所说的“数学基本思想”主要指：抽象、推理、建模，抽象思想派生出来的有：分类、集合、数形结合、变中有不变、符号化、对称、有限与无限的思想等等；由推理派生出来的有：归纳、演绎、公理化、转化与化归、联想类比、逐步逼近、代换、特殊与一般等等；由建模思想派生出来的有：简化、量化、函数、方程、优化、随机、抽样统计等等。

二、数学课程资源有哪些

数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。主要包括：文本资源、信息技术资源、社会教育资源、环境与工具、生成性资源。

三、本学期的思想方法及对应的课程资源

思想方法	课程内容	课程资源
数形结合	认识路线图	环境与工具
转化	多边形面积公式推导	文本资源
集合	循环小数的分类	生成性资源
代换	小数乘法和除法计算	信息技术资源
化归	四则混合运算（相遇问题）	信息技术资源、生成性资源
模型	方程	文本资源
整体	繁荣的菜市场	环境与工具

1、数形结合

    数形结合是数学中一种重要的思想方法，它其实是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，使代数问题几何化，几何问题代数化，为问题的解决提供简洁明快的途径。本学期涉及到数形结合思想的是“认识路线图”，本节课的重点是学会看简单的交通路线图，能根据具体的出行和到达地点，选择合适的乘车路线。教材提供了一个虚拟的公交路线图和北京地铁路线图，为了在生活实际中培养孩子的数形结合思想，我们安排了一次真实出行，让孩子自由结组，在家长陪同下体验石家庄的公交和地铁，并用自己喜欢的方式记录下来，回到学校后再在班里和同学交流。这是孩子们的作品。这次出行活动就属于利用了“环境与工具”，学生互相交流的作品属于“生成性资源”。

2、转化

    转化思想是指由一种形式变换成另一种形式，而其本身大小是不变的。这种思想方法需要孩子在细致观察的基础上展开丰富的联想，进而开启思维的大门，顺利的借助旧知识、旧经验处理新问题。本学期有一整个单元是关于多边形面积的探索，从第一课平行四边形的面积开始就是通过剪拼、平移将平行四边形转化成一个面积相等的长方形，再根据长方形的面积计算公式推导出平行四边形面积计算公式。而后面学习的三角形和梯形又都是通过转化成平行四边形来探究其面积计算方法，可以说“转化”的思想贯穿整个单元的学习。教材的活动建议主要是通过剪拼卡片自主探究，我们还增加了一项信息技术资源——微课视频，在孩子操作之后观看，帮助孩子梳理方法和其中的思想。此外我们还补充了一项文本资源，《亲近数学》17~20页对平行四边形、三角形和梯形的面积转化方法提供了更多可能，孩子在自主学习之后，转化的思想也就深深嵌入他们心中了。

3、化归
化归是把有可能解决的问题或未解决的问题，通过转化过程归结为一类更容易解决的问题，以求得解决。本学期学习的四则混合运算（二）是在学生第一学段认识了小括号，会进行整数两步四则混合运算的基础上安排的，运用了化归中的横向化归思想。数学知识紧密相连，新知识往往是旧知识的引申和扩展，让学生面对新知识会用化归思想去思考问题，对获得新知识的提高有很大的帮助。本单元主要是经历自主解决问题，学习比较复杂的三步计算的简单实际问题，这一单元不仅是要学习三步四则混合运算，更有一个提升，倡导解决问题方法多样化，这也是《数学课程标准》中“问题解决”的基本要求。本单元的解决问题中有一个很经典的课题就是相遇问题，我们运用信息技术资源中的课件让学生观察查找信息观察货车和客车的移动过程以及生成性资源中的学生的表演来帮助学生理解复杂的问题。
4、模型
学生在五年级上学期正式开始学习方程，标志着开始迈入代数领域中的函数知识系统。方程思想是模型思想中的一种，学生学习方程的目的在于解决问题中能够遵循最佳的途径，将复杂问题简单化，实现建模中的优化思想，对于学生良好思维品质的培养具有深远的影响。方程这一单元主要结合《亲近数学》这一文本资源，比如等式与方程这一课时利用《亲近数学》第90页“什么叫等式，什么叫方程”来帮助学生判断等式和方程。解方程这一课时结合《亲近数学》中的90页方程的解的含义以及99页的数学日记“X=5”是方程吗，来帮助学生区分方程的解和解方程。本单元最重要的是列方程解决问题，而列方程解决问题的关键是找出数量间的等量关系。在《亲近数学》92页总结了五种常用的方法，比如按照事情的发展顺序找等量关系；根据常见的数量关系找等量关系；根据“关系句”找等量关系；利用几何图形的周长和面积公式作为等量关系；根据“不变量”找等量关系；画示意图和线段图找等量关系列方程等等，学生可以在解题时根据题中的数量关系，灵活运用各种方法，将模型的思想融会贯通。
5、整体
    整体的思想方法是指对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握，化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。本学期小数乘法这一单元的最后一课非常有趣叫《繁荣的菜市场》，我们先在课上通过生动的动画为学生展示了小数计算在现实生活中的灵活应用，然后在讨论交流中发现在菜市场会出现“舍零钱”和“凑整钱”的现象。课后我们安排了一次社会实践活动，让学生结伴一起去逛一次真的菜市场，并且买一些东西，在买东西的时候尝试和卖菜人讨价还价，看看是否会出现课堂上学习的“舍零钱”和“凑整钱”，然后写一篇数学日记。结果回到学校交流孩子们发现卖菜人的凑整方式远不止书上的那些，没想到一个普通的菜市场也隐藏着这么多的数学知识。这样的活动就属于利用了环境与工具和生成性资源。
通过这次研讨我们也发现了我们日常教学工作中的不足，比如主要的文本资源只有《亲近数学》这套书，而绘本、童话故事类的文本资源都没有涉及到，也没有恰当的使用其他版本的教材，比如人教苏教北师大版等。另外在展示学生生成性资源时，形式太过单一，我们也在思考能否开展数学的综合实践课。
以上就是我们五年级组的一些粗浅认识!

郭振洲

六年级的 数学思想方法
数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心。数学思想方法是解决数学问题所采用的方法，它是数学概念的建立，数学规律的归纳，数学知识的掌握和数学问题解决的基础。数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习都有十分重要的意义。日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”常用到的思想方法有十几种，以上是我们本学期会用到的方法（圈出来）
接下来我把比较有代表性地数学思想方法介绍一二。
一、 《圆的面积》这一课的教学中蕴含着丰富的数学思想方法。首先通过观察，发现把飞镖板的面积转化成20个近似的三角形的面积进行估算；通过动手操作，把圆转化成接近的长方形进行推导这里面都渗透了转化的思想。其次，探索圆的面积公式，因为圆是封闭的曲线图形，图形转化的重点是化曲线图形为直线图形，而这种转化单纯通过直观操作时无法做到的，所以需要用“无限分割”的极限思想来想象和推理。具体如下：1、把一个圆形纸片平均分成16份，剪开拼成近似的长方形，由物品表面的变形到一般图形的转化：2、把圆形纸片再平均分成32份剪拼成近似的长方形。然后，让学生观察两次剪拼成的长方形，发现把圆平均分成32份拼成的图形更接近长方形。接着让学生想一想“平均分的分数越多，拼出的图形会怎么样”，启发学生想象并推想出：圆形纸片平均分的份数越多，拼出的图形就越接近长方形。在整个过程经历了观察、操作、思考、抽象与总结，从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立圆的面积公式，求出结果并讨论结果的意义。所以这个过程也体现出了建模的思想。
二、“优化”是一种重要的数学思想方法，运用之可有效地分析和解决问题。解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，它既是发展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识，创新意识的重要途径。在解决问题过程中会有多种策略，而如何选择最优的策略就需要学生在数学学习中，通过小组合作、动手实践、猜测、验证等方法找到最合理、最省时、最优的方法。本学期探索乐园“找次品”内容的教学，就是旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。教材以“找次品”这一探索性活动为载体，让学生通过观察、猜测、实验等方式感受解决问题策略的多样性，再通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。
我们六年级数学组把本学期可以渗透的思想方法进行了整理与汇总。具体如下：
册数        单元        页数        内容        思想方法



第


十

一


册


















































        第
一
单
元      

P1-P10        一、        圆
认识圆
画圆
二、        图案设计
三、        扇形设计        符号化思想

类比思想
        第

二

单

元      
P11- P27        一、        比
比的意义
比的基本性质
二、        比例
比例的意义
比例的基本性质      
三、        简单应用            
按比例分配
按比例计算
四、        解决问题                     
配制什锦糖
        符号化思想

转化的思想

分类思想
归纳思想

数形结合思想

方程思想

对应思想
        第

三

单

元
         


P28- P41        一、        认识百分数
百分数的意义
分数与百分数的大小比较及互化
二、        求百分数
求百分数和小数与百分数的互化
求百分率
三、        简单应用
小区绿化问题
森林覆盖问题        符号思想

转化思想
        第

四

单

元        P42- P55        一、        圆的周长
探索圆的周长公式
圆周长的实际问题
二、        圆的面积
探索圆的面积公式
已知直径求面积
已知周长求面积
圆环面积        极限思想

符号化思想

模型思想

转化思想
        第

五

单

元      

P56- P70        一、        一般应用问题
△ 求百分数的问题
△ 求具体数量的问题
△ 新闻中的问题
二、打折问题
三、成数问题
四、营业税问题
五、存钱利息问题
六、学会理财        数形结合思想

对应思想

方程思想

模型思想
        第

六

单

元


第   
七
单
元      

P71- P83






P84- P91        一、        放大与缩小
△ 在方格纸上放大与缩小图形
二、        比例尺
△ 认识比例尺
△ 计算实际长度
△ 求两地实际距离
△ 认识线段比例尺
△ 确定物体位置
一、认识扇形统计图
二、读扇形统计图
三、用统计图表示数据
四、综合与实践      
变中有不变的思想

模型思想






统计思想
        第
八
单
元      
P92-95        一、找次品
二、简单的逻辑推理问题      
优化思想
                                                         
在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键，不仅能使学生领悟数学的真谛！懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题还可以把知识的学习与能力的培养，智力的发展有机地统一起来。所以在认识了解数学的思想方法以后，我个人认为应该把落脚点放在如何渗透上面，如果谈如何整合，我们组想到一点。
三、以数学思想方法引路，整合教学资源
   作为课程资源的开发者，教师应合理取舍教学素材，整合教学资源。即结合教学内容和课程目标自觉地选择和整合课程资源，使课程内容与学生的教学活动结合得更加紧密，更能体现数学思想方法的渗透和熏陶。
（1）        关注教材是否适合于自己的课堂。
教师要突破教材的束缚，创造性地使用教材，挖掘其中潜在的价值，要善于从学生的实际出发对教材内容的呈现方式、编排顺序等方面进行适当的调整和改变，变“教教材”为“用教材教”。
（2）        关注“人材”意识是否到位
“人材”意识主要表现在教师关注学生的知识基础、认知特点、兴趣爱好、情感态度等因素，围绕渗透数学思想方法的主线，从达成教学目标的角度去搜寻“素材”，善于观察学生，读懂学生，从学生的角度去研读教材，把握好处理教材的“度”。
以上是我们六年级的一些认识和思考，有不当之处，还望各位老师批评指正。谢谢！

李慧

郭振洲 发表于 2020-9-23 09:56
数学思想方法与教学内容的有效整合（四年级数学）
       数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思 ...

今天恰巧我们四年级数学组在备《商不变规律》一课，这篇文章也给我们提供了一个方向：猜测~推理~归纳。并且在归纳总结之后还要关注孩子们对这一规律的应用。应用知识解决实际问题才是学习的终极目的，既培养了思想方法也提高了应用意识。

赵翠珠

“数学学个明白，学个透彻，学个好玩，核心思想方法——追根溯源”，这也是大学时我们学习“数学史”时老师所传授的。当时没有很大的感觉，只有自己走上岗位时、讲课时才知道“源”的重要性。老师掌握了知识点的最初来源，在带领孩子学习时才会游刃有余。数学著作，还是要看起来。掌握学科思想并与实际教学结合。