张玉主题帖

张玉

思考一:“比”的概念本质是什么?
“比”是一个重要的数学概念，教材中将“比”定义为“表示两个数相除”;《数学辞海》等文献资料将“比”定义为“比较两个同类量之间的倍数关系”。那么“比”概念的本质究竟是什么?从“比”概念的本源出发来思考，对“比”形成了如下认识:
1.比表示的是两个数之间的一种关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才是除法。如3:2只是一种状态，表示两个变量之间的不变关系，而3÷2则是一种运算，二者在意义上不一样。
2.比为比例的学习做准备,并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。
3.“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。这是因为，同类量之比“是“源”，不同类量之比只是“流”。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。比如，路程除以时间等于速度，明明是计算速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。若用不同类量作为主要引例，就会颠倒了源流关系，增加了学生理解的难度。

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思考二、3/5可以 读作五分之三，也可以读作三比五。
              3/5可以看作一个分数，也能看作一个比。

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思考三：计算比值的时候带不带单位？

新课改以来，在课程标准精神的指引下，各种版本的小学数学教材都不约而同地把“比”的类型丰富为两种：
一种是两个同类量之间的比（相当于除法中的包含除），表示两个数的倍数关系，因为是倍数关系，所以比值不带单位。
另一种是两个不同类量之间的比。（相当于除法中的等分除），比的结果产生一个新量，它的单位根据这个新量的实际意义确定。例如，距离（米）与时间（秒）相比 得 出 速 度（米/秒），总 价（元）与数量（千克）相比得到单价（元/千克）。我想在这种情况下就应该带单位。像北师大版、人教版和苏教版等教材在课程内容的编排上，都是先介绍同类量之间的比，再介绍“路程比时间”这种不同类量之间的比。并且三个版本的教师用书中也对两种类型进行了区分和强调。其中，人教版教师用书还详细解释了变化原因。

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思考四、为什么是按“比例”分配的实际问题，不是按“比”分配的实际问题呢？

把30个方格涂上红色和黄色，使红色与黄色方格数的比是3:2，两种颜色各应涂多少格？
我们都知道表示两个比相等的式子叫比例。题中3:2确实是一个比，但是它与最终的真实数量18和12，是可以组成一个比例的，即3:2=18:12,也就是说，确实有比例隐藏其中，因此，称呼其“比例”，

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思考五、百分数还是一个数吗？

教材都用“百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数”这句话来描述百分数的意义，都联系到了分数。

“像上面这样的数......”几种不同的教材用相同的表述，显然，如果就从教材的表述来说，很确定百分数就是一种数。

但学生们疑惑的地方在于，百分数与分数之间还有着一个极大的区别，分数既可以表示对整数的细分，也可以表示两个数之间的倍比关系。百分数就比分数多个“百”，但却不具有分数量度事物的功能，所以“百分率”这个名称似乎更合适。

什么是“数”？

百度百科中说，“数”是量度事物的概念；是客观存在的量的意识表述。数，本义指点数，计算。引申义“数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是比较同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式（或称度量）”。

数（第四声）的产生最初是源于数（第三声），而随着数学自身的发展，数系也有了数次扩张，其意义早已不再局限于对量的度量，逐渐延伸出有理数、无理数及复数等概念（如下图呈现的树状分布图），而小学阶段主要研究的是初步的有理数。

所以，即便百分数不能表示具体的量，仅仅是表示关系的“率”，它也依然是“数”。

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思考六 ：“找次品”问题.

对于这一问题，一般性的解决方法是“把这n个零件尽可能平均分成3份”。这是由天平的特点决定的，因为天平有两个托盘，所以次品的位置无外乎三个地方，即两个托盘上、天平外，天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个。而要使称量的次数最少，每次称量后，就应把次品确定在更小的范围内。要做到这一点，就应使三个地方的零件个数尽量同样多。这样，不管次品在三个地方中的任何一个，问题都能转化成“从总数的三分之一（左右）里找次品”。

为了让学生理解“尽可能地将待测物品平均分成3份”的合理性，先探讨8个，再研究9个零件。从8个零件中找次品，学生一般会很自然地想到平均分成2 份（4，4）但会发现这不是称得最少的次数，分成3份（3，3，2）的方法才是称得最少的次数。而从9个中找次品，受天平平衡的暗示，学生会自然想到（4，4，1）和（3，3，3）的分法。通过对比，学生会感受到分成3份的情况中平均分的方法称的次数最少。如果不能平均分呢？回过头再去研究8个的最少次数，会发现尽可能地平均分可以使称的次数最少。最后将此规律应用于10个、11个零件加以验证，这样层层递进，逐渐感知理解“称的次数最少”的方法的特点。

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刘铁芳教授在《什么是好的教育》这本书中所提出的“唤起对美好事物的欲求”。美好的事物，能让人心存美好，美好的事物，能让人身心健康。教育是一个苦的修行，但更是一个美好的过程。学生发现美，热爱美，追求美，对美充满了激情。把对美的追求内化成自身的修养。这就是好的教育，比高分低能或者各种名堂的教育理念好得太多。这是以生为本的教育，是注重学生的心灵熏陶，以学生的身心健康为根本的教育。

这本书的封底上概括出了“六好”

一、好的教育:教育的灵魂就是引导着人不断地去欲求美好的事物，以个体心灵中不断萌生的对美好事物的欲求来激励、引导自我生命的自我成长。

二、好的学生:不管学生的自身条件如何、基础如何，都能在各自的生命历程中，焕发对美好事物的欲求，激活积极的生命状态。

三、好的老师:真正的老师活在师生关系之中，教师之为教师的价值就是显现在鲜活的师生关系之中，教师之为教师就是向着学生的生命显现。

四、好的教学:教学的要旨就是让学生进入学习的状态之中，就是激励学生的向学之心，让学生自己想学习，并且找到学习的方法，体验学习的乐趣。

五、好的学校:确切地说，好的学校是一个人生命成长德旺盛时期、关键时期，给人以美好事物的激励与幽微体验，由此而奠定个体人生可以不断回望、优美乐观的精神资源。

六、好的校长:正是杰出的校长对教育理想的积极探索与躬亲实践，将教育的本质带入当下，带入日常学校生活之中。也正是因为他们对教育理想的不断探索与躬亲实践，让他们成为名副其实的校长。

这本书推荐给大家看一看，会让一味疲惫顺应教师教育形势行走的老师们，重新审视教育的初心和根本目的。会给人很多启发，指引教师们走向更好的发展。

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思考一：正比例和反比例是比例吗？

首先来看“比例”的含义。《说文解字·人部》对“例”字的解释为：“例，比也”，这说明“比例”这个词实际上是两个字义相同的字组合而成的，隐喻的数学意义是“两个比相同”。因此“比例”表示的是两个比的相等关系。如1:2=3:6是一个比例。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例关系可以表示成：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以表示成：

从定义中我们不难看出，正比例和反比例研究的对象是“两个量之间的关系”，而不是两个“比”之间的关系。因此说，正比例和反比例都不是比例，它们是重要的数学模型，体现了基本的函数思想。

“正”与“反”对比例的限定，使得比例这一数学术语的语义发生了变化。尽管如此，正比例、反比例和比例还是有着密切关系的。